Como a porta de troca controlada pode ser usada para calcular a porta AND de maneira reversível?
A porta swap controlada, também conhecida como porta Fredkin, é uma porta fundamental na computação reversível que pode ser usada para calcular a porta AND de maneira reversível. A computação reversível é um paradigma computacional em que cada operação é reversível, o que significa que a entrada pode ser reconstruída exclusivamente a partir da saída. Isso está em contraste com a computação clássica, onde as operações irreversíveis são comuns.
Para entender como a porta de troca controlada pode ser usada para calcular a porta AND reversivelmente, vamos primeiro examinar o comportamento da porta de troca controlada. A porta de troca controlada leva três qubits como entrada: dois qubits de controle e um qubit de destino. Se o primeiro qubit de controle estiver no estado |1⟩, ele trocará os estados do segundo qubit de controle e o qubit de destino. Caso contrário, deixa os estados inalterados.
A tabela verdade para o portão de swap controlado é a seguinte:
| Controle 1 | Controle 2 | Meta | saída |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Agora, vamos considerar como podemos usar a porta de troca controlada para calcular a porta AND reversivelmente. A porta AND recebe dois bits de entrada e gera 1 se ambos os bits de entrada forem 1 e 0 caso contrário. Na computação reversível, precisamos garantir que os bits de entrada possam ser reconstruídos exclusivamente a partir dos bits de saída.
Para calcular a porta AND usando a porta de troca controlada, podemos definir o primeiro qubit de controle da porta de troca controlada para o AND lógico dos dois bits de entrada, e o segundo qubit de controle e o qubit de destino para os próprios bits de entrada. A saída da porta swap controlada será então o resultado da porta AND, e os bits de entrada podem ser reconstruídos exclusivamente a partir dos bits de saída.
Aqui está um exemplo de circuito que demonstra como a porta swap controlada pode ser usada para calcular a porta AND:
┌───┐
q_0: ┤ H ├───────■───────
├───┤ │
q_1: ┤ H ├───────┼───────
├───┤ │
q_2: ┤ X ├──■────┼───────
├───┤ │ │
q_3: ┤ X ├──┼────┼───────
└───┘┌─┴─┐┌─┴─┐┌───┐
q_4: ─────┤ X ├┤ X ├┤ X ├
└───┘└───┘└───┘
Neste circuito, q_0 e q_1 são os bits de entrada e q_4 é o bit de saída. Os portões H são portões de Hadamard, que colocam os qubits em uma superposição de estados. Os portões X são portões Pauli-X, que invertem o estado de um qubit. A porta de troca controlada é representada pelas caixas identificadas como "X" no circuito.
Aplicando este circuito aos bits de entrada, podemos calcular a porta AND reversivelmente, com o bit de saída q_4 contendo o resultado da operação AND. Os bits de entrada q_0 e q_1 podem ser reconstruídos exclusivamente a partir do bit de saída q_4, tornando esse cálculo reversível.
A porta de troca controlada pode ser usada para calcular a porta AND de maneira reversível, definindo o primeiro qubit de controle para o AND lógico dos bits de entrada e usando o segundo qubit de controle e o qubit de destino para representar os próprios bits de entrada. A saída da porta swap controlada será então o resultado da porta AND, e os bits de entrada podem ser reconstruídos exclusivamente a partir dos bits de saída.
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