Descreva o algoritmo para analisar uma gramática livre de contexto e sua complexidade de tempo.
A análise de uma gramática livre de contexto envolve a análise de uma sequência de símbolos de acordo com um conjunto de regras de produção definidas pela gramática. Este processo é fundamental em várias áreas da informática, incluindo a cibersegurança, pois permite-nos compreender e manipular dados estruturados. Nesta resposta, descreveremos o algoritmo para analisar uma gramática livre de contexto e discutiremos sua complexidade de tempo.
O algoritmo mais comumente usado para analisar gramáticas livres de contexto é o algoritmo CYK, nomeado após seus inventores Cocke, Younger e Kasami. Este algoritmo é baseado em programação dinâmica e opera no princípio da análise bottom-up. Ele constrói uma tabela de análise que representa todas as análises possíveis para substrings da entrada.
O algoritmo CYK funciona da seguinte forma:
1. Inicialize uma tabela de análise com dimensões nxn, onde n é o comprimento da string de entrada.
2. Para cada símbolo terminal na string de entrada, preencha a célula correspondente na tabela de análise com os símbolos não terminais que o produzem.
3. Para cada comprimento de substring l de 2 a n e cada posição inicial i de 1 a n-l+1, faça o seguinte:
a. Para cada ponto de partição p de i a i+l-2, e cada regra de produção A -> BC, verifique se as células (i, p) e (p+1, i+l-1) contêm símbolos não terminais B e C , respectivamente. Nesse caso, adicione A à célula (i, i+l-1).
4. Se o símbolo inicial da gramática estiver presente na célula (1, n), a string de entrada pode ser derivada da gramática. Caso contrário, não pode.
A complexidade de tempo do algoritmo CYK é O(n^3 * |G|), onde n é o comprimento da string de entrada e |G| é o tamanho da gramática. Essa complexidade surge dos loops aninhados usados para preencher a tabela de análise. O algoritmo examina todos os pontos de partição possíveis e regras de produção para cada comprimento de substring, resultando em complexidade de tempo cúbico.
Para ilustrar o algoritmo, considere a seguinte gramática livre de contexto:
S -> AB | BC
A -> AA | a
B -> AB | b
C -> BC | c
E a string de entrada "abc". A tabela de análise para este exemplo seria a seguinte:
| 1 | 2 | 3 |
——-|—–|—–|—–|
1 | A, S | B, C | S |
——-|—–|—–|—–|
2 | | B, C | A |
——-|—–|—–|—–|
3 | | | C |
——-|—–|—–|—–|
Nesta tabela, a célula (1, 3) contém o símbolo inicial S, indicando que a string de entrada "abc" pode ser derivada da gramática fornecida.
O algoritmo para analisar uma gramática livre de contexto, como o algoritmo CYK, nos permite analisar e entender dados estruturados. Ele opera construindo uma tabela de análise e verificando derivações válidas de acordo com as regras de produção da gramática. A complexidade de tempo do algoritmo CYK é O(n^3 * |G|), onde n é o comprimento da string de entrada e |G| é o tamanho da gramática.
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